Lógica Proposicional

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O presente texto tem como objetivo continuar a série de textos sobre lógica formal que iniciei com Teoria dos Conceitos (este texto, embora possa ser lido separadamente, foi feito para ser uma continuação daquele, e pode ser muito melhor compreendido se o anterior for lido antes).

Uma nota importante antes de começar: já fiz no passado um texto que tratava de temas semelhantes, meu texto Introdução à Lógica Formal, porém aquele era um texto bem mais introdutório. Estes são ao mesmo tempo uma forma de fazer fichamentos de meus estudos e de divulgar estas informações para ajudar quem quer que também se interesse pelos temas.

Por isso considero esta série de textos que faço agora como uma forma melhor e aperfeiçoada de abordar a lógica, em relação ao meu texto anterior, porém, alguns conceitos, tabelas e termos utilizados naquele texto serão repetidos aqui.

Lógica Simbólica

Para facilitar a construção de argumentos e a detecção de todos os processos de raciocínio presentes neles é utilizada muitas vezes a lógica simbólica, ou seja, o uso de linguagens lógicas com símbolos específicos que signficam cada proposição, conectivo entre proposições, ou cada componente de uma proposição, para facilitar a contrução e visualização destes processos de raciocínio que levam de uma ideia ou sentença até a outra.

Usar a lógica simbólica não é obrigatório para fazer um argumento, e, algumas vezes, dependendo do argumento, não é necessário, pois todo o processo de raciocínio já fica claro e inteligível explicado verbalmente. Porém, muitas vezes (e pelo que percebi até hoje, na maior parte das vezes) o uso da lógica simbólica é muito útil não só por tornar a explicação mais clara , evitando ambiguidades do uso de vários termos da linguagem comum.

Ao contrário da nossa linguagem, as linguagens lógicas são linguagens científicas e têm termos cuja denotação ou conotação não variam e não mudam , tornando mais fácil a detecção de todos os processos do raciocínio e ajudando na percepção de possíveis erros de raciocínio que possam ter ocorrido. Além disso, ela também torna mais fácil provar que determinados tipos de argumento e processos de raciocínio são logicamente válidos.

Proposições

No texto passado falamos sobre conceitos, agora falaremos sobre entidades mais abstratas e menos concretas: as proposições, que são formadas por conceitos. Observação: não estou dizendo que toda a junção de conceitos é uma proposição, apenas que toda a proposição é formada de conceitos.

Proposições são definidas como afirmações que poderiam ser verdadeiras ou falsas.

E o que eu quero dizer com “verdadeiro” e “falso”? O termo pode parecer ter definição intuitiva, porém, para evitar qualquer erro, é necessário deixar tudo claro e objetivo. Aqui estou utilizando a definição clássica de Aristóteles (até onde sei a mais utilizada) de verdade (existem outras definições, ou seja, outros pensadores usam o mesmo termo para se referir a outros conceitos, porém aqui me refiro ao de Aristóteles), que seria a de que a verdade é aquilo que corresponde à realidade.

Para isso também é necessário definir o que quero dizer com “realidade”, e o que quero dizer é “tudo aquilo que existe”. Existência em si é um conceito axiomático (que, conforme foi provado no texto anterior, não pode ser definido verbalmente), portanto não posso aqui defini-la, porém é válido fazer uma descrição que afirma que tudo aquilo que existe tem identidade (pois a identidade também é um conceito axiomático), e que a identidade de um existente é composta pelas características/atributos deste existente que o definem como o que é (não é uma definição de identidade, apenas uma descrição).

Com estes conceitos ontológicos mais esclarecidos é possível entender melhor o que se define como “proposição” aqui: proposição é uma afirmação que poderia ser verdadeira ou falsa, se ela for verdadeira então aquilo que ela afirma realmente condiz com os atributos que definem na realidade o existente do qual afirma algo, e se ela for falsa não, ou seja, falso é o mesmo que não-verdadeiro.

Exemplo: supunha que eu diga “jacas são frutas”, neste caso ou a jaca tem o atributo (a característica) que faz com que ela se enquadre no conceito de “fruta”, sendo que neste caso a proposição é verdadeira, ou não tem, sendo que neste caso a proposição seria falsa.

Observação: a proposição não precisa afirmar apenas alguma característica do existente, ela pode também afirmar coisas a respeito das relações entre eles, até mesmo porque suas relações existem por conta de suas características e das características dos demais existentes.

Importante: proposições não são o mesmo que sentenças, proposições se referem ao conteúdo expresso nas sentenças, e não às sentenças em si. Por exemplo, as sentenças “o gato comeu a lasanha” e “a lasanha foi comida pelo gato” são sentenças diferentes, porém seriam a mesma proposição.

A linguagem lógica da qual tratarei aqui é a Lógica Proposicional, que trata de proposições e de suas conexões lógicas, porém não de elementos e componentes das proposições (isso fica para a Lógica dos Predicados).

Na Lógica Proposicional cada proposição é representada por uma letra (geralmente se começa representando a primeira proposição com P, a segunda com Q e as outras com as demais letras). Então, por exemplo, sempre que eu fosse escrever “jacas são frutas” eu poderia simbolizar esta proposição com a letra P, e sempre que você visse P (a não ser que eu sinalizasse que estou montando outro argumento e usando a letra para outra proposição), você entenderia que P siginfica “jacas são frutas”.

Argumentos, por outro lado, são compostos de proposições. O que define um argumento como um argumento é que nele uma ou mais proposições são usadas para justificar outra proposição, a proposição justificada é chamada de conclusão, e as que a justificam (que, se forem verdadeiras, tornam a conclusão verdadeira) são chamadas de premissas.

A Lógica é o estudo dos argumentos, e tem a função de classificar quais são bons e quais são ruins, sendo um argumento bom aquele que não só é lógicamente válido (ou seja, cujas premissas realmente justificam a conclusão), mas também aquele que se baseia em premissas verdadeiras.

Por exemplo…

O argumento:

“Jacas são mamíferos”

“Todos os mamíferos voam”

“Logo jacas voam”

Não é um argumento bom, ele é válido na sua forma, mas não tem premissas verdadeiras. Agora se eu dissesse:

“Jacas são frutas”

“Todas as frutas vêm de plantas”

“Logo jacas vêm de plantas”

Este seria um argumento bom.

Tabelas Verdade

Tabelas verdade são tabelas que nos permitem comparar todas as combinações possíveis de verdade ou falsidade de determinadas proposições:

No exemplo dado temos todas as combinações possíveis quando temos duas proposições P e Q, porém, conforme será visto a seguir, quando usamos conectivos lógicos é possível determinar quando proposições mais complexas (que são formadas de proposições conectadas) são realmente verdadeiras ou falsas em função das proposições P e Q (ou quaisquer outras proposições necessárias para o argumento) através do uso da tabela verdade.

Conectivos

Os conectivos lógicos na Lógica Proposicional são utilizados para simbolizar relações entre proposições, e não qualquer tipo de relação, mas relações de verdade ou falsidade, assim, se a proposição P é verdadeira ou falsa, e se a prosiposição Q é verdadeira ou falsa, isso afetará se a relação X entre elas será verdadeira ou falsa. Isso ficará mais claro a seguir conforme explicarei e definirei cada um dos conectivos (obs.: isso foi algo que já fiz no meu texto anterior sobre lógica, mas aqui é algo importante de se revisar).

Negação

O conceito de negação de uma proposição é semelhante ao de negação de um conceito abordado no texto anterior. Uma proposição é a negação da outra se sempre que ela for verdadeira a outra for falsa, e se sempre que a outra for verdadeira ela for falsa; a negação é representada geralmente pelo símbolo “¬” ou pelo símbolo “~” antes da proposição.

Então, por exemplo, se minha proposição P é “jaca é uma fruta”, então a sua negação, ¬P, seria “jaca não é uma fruta” (ou então “não é verdade que jaca é uma fruta).

Importante: a negação não deve ser confundida com o contrário de uma proposição, por exemplo, se eu digo “Pleriosvaldo é alto”, o seu contrário seria “Pleriosvaldo é baixo”, porém esta não é a única proposição que a nega, não é sua negação, pois a negação da proposição original seria “Pleriosvaldo não é alto”, já que é possível que ele não seja nem alto nem baixo e tenha uma altura intermediária. As proposições que são a negação uma da outra são chamadas de contraditórias, e não devem ser confundidas com seus contrários.

A seguir a negação será definida com o uso de uma tabela verdade:

Conjunção

O conectivo lógico da conjunção (não deve ser confundido com a conjunção da teoria dos conceitos, que seria um conceito de relação entre ideias) é uma relação que só é verdadeira quando todas as proposições relacionadas são verdadeiras. É representado pelo símbolo “∧”.

Então se eu digo que há uma conjunção entre as proposições P e Q (P∧W), então estou dizendo que P∧Q só é verdadeiro se ambos P e Q forem verdadeiros.

Por exemplo, a proposição “jacas são frutas e ornitorrincos são mamíferos” pode ser traduzida em P∧Q, sendo P “jacas são frutas” e Q “ornitorrincos são mamíferos”, se jacas serem frutas for uma afirmação verdadeira e ornitorrincos serem mamíferos for uma afirmação verdadeira simultaneamente então P∧Q é verdadeira; porém se ao menos uma das duas for falsa, então P∧W é falsa.

Disjunção

Uma disjunção ocorre quando ao menos uma das proposições relacionadas na disjunção deve ser verdadeira para que a disjunção seja verdadeira. É representada pelo símbolo “∨”.

Então se houver uma disjunção P∨Q, isso significa que se P for verdadeira então P∨Q também é, mesmo se Q for falsa, e que se Q for verdadeira P∨Q também é, mesmo se P for falsa, assim como se ambas P e Q forem verdadeiras P∨Q também será. A disjunção só será falsa de ambas P e Q forem falsas.

Importante: muitas vezes a disjunção é lida como “ou”, porém cuidado, a palavra “ou” geralmente passa uma ideia de exclusão, de que ou X é verdadeiro ou Y, mas não os dois; porém a disjunção, ao contrário, não faz essa exclusão, ela admite que ambas sejam verdadeiras simultaneamente, assim como que apenas uma delas seja.

Implicação

Uma implicação ocorre quando uma proposição (a que implica a outra) não pode ser verdadeira sem que a implicada também seja. É geralmente representada pelo símbolo “⇒”.

Ou seja, se afirmo que P⇒Q estou afirmando que sempre que P for verdadeira Q também será, e se houver sequer uma possível situação na qual P for verdadeira e Q não for, então a implicação é falsa. Uma implicação P⇒Q só é falsa de P for verdadeira e Q for falsa.

Importante: a conjunção e a disjunção segundo suas próprias definições são comutáveis, isso siginfica que se se P∨Q é verdade então Q∨P também é, e que se P∧Q é verdade Q∧P também é; porém a implicação não é necessariamente comutável, se P⇒Q isso não siginfica necessariamente que Q⇒P, se significar então não temos apenas uma implicação, mas uma dupla-implicação, uma equivalência.

Equivalência

Uma equivalência lógica ocorre quando há uma múltipla implicação entre as proposições envolvidas. É geralmente represetada pelo símbolo “⇔”.

Ou seja se, por exemplo, é dito que P⇔Q, isso significa que se P for verdadeira Q também deverá ser verdadeira, e que se Q for verdadeira, P também deverá ser, as duas sempre serão verdadeiras ou falsas ao mesmo tempo.

Uso de conectivos combinados

Vários conectivos podem ser utilizados para criar proposições mais complexas ainda, por exemplo, eu poderia dizer:

“Se eu comer jaca ou carne de ornitorrinco irei ficar muito satisfeito.”

Neste caso, sendo P “eu comerei jaca”, Q “eu comerei carne de ornitorrinco” e W “eu ficarei muito satisfeito”, minha proposição poderia ser traduzidas como:

(P∨Q)⇒W

Outro exemplo, se eu digo “se eu fizer 100 flexões e 100 abdominais todo o santo dia ficarei muito forte, e essa é a úncia forma de ficar muito forte”, poderia traduzir minha proposição como:

(P∧Q)⇔W

Sendo que, neste caso, P seria “farei 100 flexões todos os dias”, Q seria “farei 100 abdominais todos os dias” e W seria “ficarei muito forte”. Obs.: existem alguns debates na lógica sobre sermos capazes ou não de avaliarmos o valor verdade de proposições sobre o futuro, porém vamos deixar isso de lado por enquanto e supor que eu possa ter 100% de certeza sobre o futuro nestes casos para que possamos apenas usar estes exemplos.

Para isso é importante o uso de parênteses ao usar a linguagem lógica, algo que eu não soube usar bem quando comecei a aprender sobre o tema e a treinar tentando formalizar argumentos.

Se o meu primeiro exemplo fosse escrito como:

P∨Q⇒W

Ele ficaria ambíguo, eu poderia estar dizendo realmente “(P∨Q)⇒W”, ou poderia estar dizendo “P∨(Q⇒W)”, e o uso das parênteses deixa tudo mais claro.

Leis Lógicas

Nesta seção tenho como objetivo apresentar uma série de proposições complexas formadas de outras proposições e um ou mais conectivos que são provadas por meio de tabelas verdade como sendo sempre verdadeiras, são fórmulas lógicas que poderíamos chamar de leis ou teoremas.

O valor verdade destas fórmulas lógicas é provado quando se mostra por meio de uma tabela verdade que ela é uma tautologia, ou seja, verdadeira em toda a possível situação, neste caso ela será uma verdade necessária, pois não haverá nenhuma situação possível na qual seja falsa.

Irei colocar aqui a maior parte destas leis com as quais tive contato, porém não todas (deixarei uma ou outra de fora por hora), as fórmulas lógicas provadas como tautologias aqui serão as seguintes:

  • Princípio da identidade
  • Princípio da não-contradição
  • Princípio do terceiro excluído
  • Lei da prefixação
  • Lei de Duns Scotus
  • Lei da contraposição
  • Princípio da dupla negação
  • Modus ponens
  • Modus tollens
  • Silogismo hipotético
  • Silogismo disjunto
  • Leis de De Morgan
  • Leis distributivas
  • Leis associativas

Decorar todas estas leis e suas provas é algo extremamente difícil, pelo menos para mim, e, se for para você também, recomendo que sempre que precisar utilizar ou revisar tais leis utilize este texto como uma forma de rever suas provas e seus significados, pois aqui dividi a seção em subseções com cada uma explicando como funciona a lei e provando-a por meio de uma tabela verdade.

Princípio da identidade

Aqui falo do princípio da identidade lógico, não do ontológico que é bem mais abrangente, o lógico se refere apenas a proposições e diz que P⇒P, ou seja, sempre que uma proposição for verdadeira ela mesma será verdadeira, explicando melhor, que o valor verdade de uma proposição é igual a si mesmo, tem uma identidade.

A proposição pode parecer óbvia ou intuitiva, porém dizer que algo é óbvio não é o suficiente, tudo deve ser deixado claro e objetivo. A seguir colocarei uma tabela verdade que demonstra que esta é uma tautologia:

Como pode ser observado ela não é falsa em nenhum dos cenários possíveis.

Princípio da não-contradição

Novamente não falo do princípio da não-contradição ontológico (que diz que um existente não pode ser ele mesmo e a sua negação ao mesmo tempo, no sentido de negação de conceitos. Este tema abordarei em um texto sobre metafísica), e sim do princípio lógico, que diz que uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo, ou seja uma proposição e sua negação não podem ser verdadeiras ao mesmo tempo, ¬(P∧¬P).

Princípio do terceiro excluído

O princípio do terceiro excluído diz basicamente uma proposição é sempre ou verdadeira ou falsa (P∨¬P), e que se ela não for verdadeira ela é falsa, e se não for falsa ela é verdadeira. Isso é claro por conta da definição de “verdadeiro” e “falso”, porém também é uma tautologia:

Prefixação

A prefixação é uma fórmula semelhante ao princípio da razão suficiente, porém apenas para proposições. A prefixação afirma que qualquer proposição pode ser implicada a partir de alguma outra, ou seja, também afirma que qualquer proposição pode ser justificada a partir de alguma outra, P⇒(Q⇒P). Também é uma tautologia.

Lei de Duns Scotus

A lei de Duns Scotus é semelhante ao princípio da explosão, e afirma que uma proposição falsa pode implicar em qualquer coisa, ou seja, que se tenho uma proposição falsa, ela pode justificar qualquer proposição. ¬P⇒(P⇒Q), sendo aqui Q uma proposição genérica, pode ser qualquer proposição.

Lei da contraposição

A lei da contraposição afirma que as afirmações P⇒Q e ¬Q⇒¬P são equivalentes. Isso é extremamente útil quando queremos provar uma proposição Q já sabendo que alguma outra (P) é verdadeira, pois em muitas ocasiões é mais fácil provar que ¬Q implica ¬P que provar que P implica Q.

Argumentos contrapositivos são utilizados com muita frequência, mesmo que o pensador não explicite que está provando por contraposição (aliás acho muito possível que algumas vezes eles nem saibam da lei da contraposição porém usem a estrutura do argumento por reconhecer sua validade de forma intuitiva); por exemplo, Mises e Rothbard provam em Ação Humana e Man, Economy and State que o agente usa meios para agir de forma contrapositiva, Hoppe demonstrar que todos os conflitos surgem por conta da escassez e do uso de bens escassos com um argumento por contraposição, é uma lei extremamente útil.

Você pode observar na tabela que os valores de P⇒Q e ¬Q⇒¬P são sempre os mesmos.

Princípio da dupla negação

O princípio da dupla negação afirma que negar uma negação é o mesmo que afirmar aquilo que ela nega, ou seja, que ¬¬P⇔P.

Modus ponens

Se uma proposição P for verdadeira e Q for implicação de P então Q é necessariamente verdadeira (fórmula extremamente útil, embora bem intuitiva).

Assim sabemos que se nossa dedução está correta — se provamos que P realmente implica em Q com métodos lógicos comprovados (como, por exemplo, o método da prova por contraposição) — então a nossa conclusão (Q no caso) também será necessariamente correta.

Modus tollens

É o exato oposto da anterior afirma que se uma proposição Q é falsa e se P implica em Q, então P também é necessariamente falsa.

Note que sempre que ¬Q∧(P⇒Q) é verdadeiro, ¬P também é, assim a implicação está provada.

Silogismo hipotético

Esta lei afirma que se uma proposição P implica na proposição Q, e se Q implica em W, então P implica em W; então, nesse sentido se temos uma série de implicações, a primeira proposição irá implicar também na enésima proposição.

Com esta lei é possível construir argumentos ou teorias complexas partindo apenas de uma proposição, e qualquer teorema deduzido será apenas mais uma implicação da premissa inicial.

Silogismo disjunto

Neste caso é provado que ((P∨Q)∧¬P)⇒Q, ou seja, que se ou P ou Q é verdadeiro e P é falso, então Q é necessariamente verdadeiro. Isso pode ser muito útil para alguns casos, por exemplo, se estamos resolvendo um problema e sabemos que existem apenas duas possíveis soluções/respostas para ele (P ou Q), sabemos com base nesta lei que basta provar que uma é falsa que a outra é necessariamente verdadeira.

Como pode ser observado pela tabela, sempre que (P∨Q)∧¬P é verdadeiro, Q também é.

Leis de De Morgan

As leis de De Morgan são duas leis que funcionam como uma “distributiva de uma negação” (fazendo uma alusão à distributiva matemática aqui), elas afirmam que ¬(P∧Q)⇔(¬P∨¬Q) (importante: note que no primeiro lado da equivalência temos uma conjunção e que no segundo uma disjunção) e que ¬(P∨Q)⇔(¬P∧¬Q). Também são tautologias.

Leis distributivas

Elas nos dizem, quando nos deparamos com P∧(Q∨W) e P∨(Q∧W), como fazer a distribuição da conexão da proposição que está fora dos parênteses com as que estão dentro. No caso…

P∧(Q∨W)⇔((P∧Q)∨(P∧W))

&

P∨(Q∧W)⇔((P∨Q)∧(P∨W))

Leis associativas

São semelhantes às anteriores, porém tratam da “distributiva” quando o conectivo lógico é o mesmo, ou seja:

P∧(Q∧W)

P∨(Q∨W)

E, no caso…

(P∧(Q∧W))⇔((P∧Q)∧W)

(P∨(Q∨W))⇔((P∨Q)∨W)

Além de que esta lei também vale para a equivalência:

(P⇔(Q⇔W))⇔((P⇔Q)⇔W)

Como pode ser observado há equivalência pois nas duas colunas finais de todas as três tabelas os resultados de verdade e falsidade são sempre iguais.

Com estes conhecimentos aqui postos acredito que será possível para mim analisar e elaborar os argumentos que já defendi e com os quais ainda concordo, assim como novos argumentos. Espero que este texto também ajude vocês a fazer o mesmo, a analisar e avaliar vocês mesmos os argumentos com os quais têm contato. E se preparem, pois minha lista de textos sobre lógica ainda não está completa, e agora é hora de terminar de estudar e fazer fichamentos sobre lógica dos predicados e lógica modal.

Referências

David Kelley — The Art of Reasoning

Cezar Mortari — Introdução à Lógica

Richard Hammack — Book of Proof

P. D. Magnus — Forall X: Introductory Textbook in Formal Logic

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